Serdecznie zapraszamy pracowników i studentów na posiedzenie seminarium "Geometria i układy dynamiczne", które odbędzie się w czwartek 21 kwietnia 2022 o godzinie 13:15 w sali A1/6

Prelegent: Adam Doliwa (wspólna praca z Arturem Siemaszko)

Tytuł: Aproksymanty Hermite-Padego i wielowymiarowe dyskretne równania Tody

Streszczenie: 

Aproksymacja funkcjami wymiernymi dająca najlepszą możliwą zgodność z rozwinięciem funkcji w szereg Taylora (tzw. aproksymacja Padego) jest szeroko stosowana w obliczeniach numerycznych. Szczególnie dobrze sprawdza się ona w przypadku funkcji mających osobliwości. Znane wzory wyznacznikowe, pochodzące jeszcze od Jacobiego, nie są jednak efektywne numerycznie. W praktyce używa się związków rekurencyjnych (tożsamości Frobeniusa) pomiędzy licznikami i mianownikami aproksymant zorganizowanymi w dwuwymiarowe tablice. Rekurencje te zostały odkryte ponownie po 100 latach w szerszym kontekście teorii układów całkowalnych, a ich użyteczność w problemach aproksymacyjnych tłumaczona jest istnieniem (nieskończonej) liczby symetrii stabilizujących numerykę. Ze względu na strukturę wyznaczników teoria aproksymant Padego ma bliskie związki z teorią wielomianów ortogonalnych, której znaczenie w matematyce i fizyce teoretycznej trudno przecenić.

Na gruncie teorii liczb, aproksymanty Padego odpowiadają przybliżeniom diofantycznym i są blisko związane z teorią ułamków łańcuchowych. W swoim dowodzie przestępności stałej Eulera (naśladowanym później przez Lindemanna w dowodzie przestępności liczby \pi) Hermite wprowadził uogólnienie aproksymant wymiernych (warto zauważyć, że Pade był jego doktorantem), które są znane obecnie jako aproksymanty Hermite-Padego. Odpowiednia teoria wielomianów wielokrotnie ortogonalnych ma zastosowania w kombinatoryce, teorii procesów stochastycznych czy macierzy losowych. Na wykładzie chciałbym podnieść temat równań rekurencyjnych uogólniających tożsamości Frobeniusa na ten przypadek. W szczególności pokażę, że można je otrzymać jako całkowalną redukcję równań Hiroty. Jeśli czas pozwoli, to chciałbym także przedstawić konstrukcję rozwiązań problemu Hermite-Padego w kontekście geometrii rzutowej nad ciałem funkcji wymiernych.

Serdecznie zapraszamy
Adam Doliwa, Andriy Panasyuk, Vsevolod Shevchishin, Artur Siemaszko